文系のための「数値型」（２）

さて、PostgreSQL 9.1 の「数値型」を整理したできたところで、
今度は、Python の「数値型」について、色々と考えてみることにする。
「文字列型」の話（２）でも書いたようにPython のデータ型は、PostgreSQLよりも大雑把。

今回の話、少々、話が複雑で、しかも、結果が微妙に異なるかもしれない。
エラーが出なければ、おそらく、問題は無い。以下の話は、基礎知識を得るための参考。
本日のプログラムは、パソコンの機種やOSにも依存するので、一致するとは限らない。

実は、Python の「数値型」は4つしか無い。これらは「組み込み型」と呼ばれる型の一種。
PostgreSQL と対比させてみると、相互に変換できるものは3つしかない。
また、Python には、「複素数型（Complex）」があるのも興味深い。

PostgreSQL9.1	Python2.7
狭範囲（smallint） ｛範囲：-32768〜+32767｝	該当なし
並範囲（integer） ｛範囲：-32768〜+32767｝	整数型（int） ｛範囲：-2147483648〜+2147483647｝
広範囲（bigint） ｛範囲：-2147483648〜+2147483647｝	長整数型（long） ｛無制限｝
固定小数点（decimal/numeric） ｛小数点までの範囲：131072桁｝ ｛小数点以降の範囲：16383桁｝	該当なし
単精度（real） ｛精度：4バイト（6桁精度）｝	該当なし
倍精度（double） ｛精度：8バイト（15桁精度）｝	浮動小数点型（long） ｛精度：8バイト（15桁精度）｝
該当なし	複素数型（complex）

「複素数型」は、少し複雑な数値計算を必要とする場合に必要となる。
Python は、科学計算などにも用いられることがある。特徴がよく現れている。
この型については、今回は説明しない。数値計算が必要な時にでもまとめよう。

さて、実を言うと、Pythonの「数値型」というのは、
C言語と呼ばれる別のプログラミング言語の「数値型」を用いている。
それを、Pythonが借用しているのである。つまり、上記4つの数値型はC言語のもの。

呼び方も全く違う。統一してくれれば良いのだが、何かの事情があるのだろう。
残念ながら、私は、なぜ呼び方が異なっているかの理由は知らないが、
どちらも、何となくは、言いたいことが解るので、まぁ、良いことにする。

いつも通りに話が逸れた。

順番に見てみると、PostgreSQL で「integer」だったものが「int」になっている。
「integer」をフルネームで呼ぶか、略称で呼ぶかという違い。これは納得。
「bigint」が「long」になっている。「大きい」と考えるか、「長い」と考えるか。

名前の違いで見ると、「浮動小数点型」の部分。PostgreSQLの方では、二つあった。
Python の方は一つだけ。実は、「Float」というのは、浮動小数点の総称。
PostgreSQL では、単精度と倍精度の二種類があるので分けている。

さて、次に実際の「有効桁数」と「精度」について見てみる。
Python の数値型は、C言語の数値型を借用していることはすでに述べた。
では、C言語のどの型を借用しているのか？

• int　    ←　C言語のlong型
• long 　←　C言語には無い？
• float 　←　C言語におけるdouble型

なんと、C言語のデータ型の大きい方だけを使っているようである。
Pythonという言語は、比較的最近に開発された言語であるので、
近年のコンピュータの能力に合せているのかもしれない。

なるほど、ここまで、整理できたところで、
実際にPython を立ち上げて、数値型について理解を深めてみる。
とりあえず、「文字列型」の話の手順でPythonのコンソールを立ち上げる。

最初にするべきことは、「>>>」の後ろに、以下をコピペ。

import sys

これは、「sys」という名前の「部品群」の読み込み作業。
Python では、様々な外部の部品を読み込んで使うことができる。
一般的には、「ライブラリ」あるいは「パッケージ」と呼ぶ。

さて、この「sys」という名前の「部品群」を読み込むと、
OSが提供する、つまり、システムが提供する様々な機能が使えるようになる。
だから「System」の略で「sys」。コンピュータの世界では略称をよく使う。

さて、この「sys」の部品群が提供してくれている「機能」を使うためには、
「sys.機能名」というように、読み込んだ部品群の名前の後ろに「.」をつけ、
さらに、その後ろに使いたい機能の名前を書く。

使いたい機能はどうやって知ることができるか？
実を言うと、APIリファレンスと呼ばれるマニュアルを読む必要がある。
これには、ちょっとしたコツがあって、読み方が解ればプログラミングは簡単。

しかし、今回の話は、プログラミングの入門講座ではない。
基本的な説明は終わったので、先に進むとしよう。
とにかく、「sys」を読み込むことができれば、次の一行をコピペ。

sys.maxint

この実行結果は以下の通り。

>>> import sys
>>> sys.maxint
2147483647

この結果で出てきたのが、Pythonにおける「int型」の最大値。
この値は、C言語のlong型であり、PostgreSQLの「bigint型」に等しい。
実を言うと、最小値を求める関数は無い。これに「-1」を掛けた値が最小値となる。

では、この最大値を超えるとどうなるかを実験してみる。
次の行をコピーして実行してみる。
現在表示されているのが最大値なので、これに「1」を足してみる。

sys.maxint+1

この実行結果は以下の通り。

>>> sys.maxint+1
2147483648L

あれっ!?ちゃんと計算できている。限界を超えているのに？
いや、よく見ると数値の最後に「L」が付いている。
実は、Python の場合、限界を超えると自動的にlong型に変換される。

こういった機能を持つプログラミング言語は珍しく、
もちろん、PostgreSQL においてもエラーが発生する。
したがって、Pythonのint型の限界を超えた値をPostgreSQL には入れれない。

では、いよいよ、厄介な「浮動小数点」について見てみる。

「浮動小数点」において注意すべきことは何か？答えは「有効精度」の問題。
小数点以下で保証される桁数がいくつか？ということ。
これを間違えると、計算するときに誤った結果を得ることになる。

とりあえず、誤差というのが何か？という問題から考えてみる。
何も考えずに、以下の二行のコマンドをコピペ。

float("10.000000000000001")


少し強引な例ではあるが...。
このコマンドの実行結果は以下の通り。

>>> float("10.000000000000001")
10.000000000000002

文字列型の話（２）では、「"」で囲むと文字列になると解説した。
つまり、一度、文字列として「数字」を作り、それをfloat型に再変換している。
そうそう。「キャスト」と呼ばれる処理のことであった。結果は？

浮動小数点は、あくまで、近似的に値を表しているため、
このように元の数値が元の通りに再生できるとは限らない。
場合によっては、有効精度以内であっても生じることがある。

次は、「浮動小数点型」の最大と最小の値を確認してみる。
float型の情報を得るためには、もう少し難しいなコマンドが必要になる。
整数型に比べて、見ないと行けない値が多い。

sys.float_info

同様に、この実行結果は以下の通り。
見易いように以下の出力は少し整形してある。
通常は、ひと続きで出力される。

>>> sys.float_info
sys.float_info(max=1.7976931348623157e+308, 
                      max_exp=1024, 
                      max_10_exp=308, 
                      min=2.2250738585072014e-308, 
                      min_exp=-1021, 
                      min_10_exp=-307, 
                      dig=15, 
                     mant_dig=53, 
                     epsilon=2.220446049250313e-16, 
                     radix=2, 
                     rounds=1)

何やら、一杯出てきた。このうち、「max」と「min」は10進数での「指数」の限界値。
「1.7976931348623157」の「10」の「308乗」が最大値であり、
「2.2250738585072014」の「10」の「308乗」が最小値である。

ところで、「max」と「min」の部分の表示方法、覚えておいた方が良い。
Excel などでも、非常に大きいあるいは小さい数値を扱うとこの表示になる。
これは、「0」の数が多いと数えるのが面倒だから。つまり、「エラー」では無い。

さてさて、またまた、話が逸れた。

つまり、上記のことが解れば、「max_10_exp」と「min_10_exp」は、大体、予想がつく。
要するに、10進数における「指数部」の限界値であり、その上限と下限である。
この値よりも「-1乗」だけ小さい値の範囲までが扱うことができる。

ということは、なるほど、「max_exp」と「min_exp」は、2進数での「指数」の限界値。
2進数における「指数」の取り得る範囲は、最大で「1024」であり、
負の方向には、最小で「-1021」までの値を取ることができる。

いわゆる、「精度」というのは、「dig」の部分であり「15桁精度」であることを示している。
「radix」というのは、指数における「低」のことで、したがって、「2」。これも良い。
「mant_dig」は、仮数部に保持できる2進数（ビット）での桁数。

あと二つ残っているか。「epsilon」は、float型で表現できる「1」の次の値。
なぜ必要か理解できない人もいるかもしれないが、厳密な科学計算では精度確認に必要。
そして最後の「round」は、何やら、「丸め込み」の方法らしい。良く解らない。

さて、「浮動小数点」の精度の問題は、よく理解しておいた方良い。
ここで簡単な実験をしてみる。どのような実験か？
「0.1」を「10」回足すという作業をPython で書いてみる。

ついでなので、計算式の立て方についても触れておくことにする。
まずは、以下のように考えることができる。小学生でも作れる計算式。

0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1.0

このまま計算しても良いのだけれど、もう少し、この式を一般化してみる。
「0.1」の部分を「x」という記号に置き換えると、以下のように表せる。
次は、中学生レベルでの式の立て方。



ここで右下に付いている数字や記号のことを「添字」と呼ぶ。
一番前から数えて、不特定番目を「i」とし「n」番目までの数を計算するという意味。
また、「sum」や「x」というのは、状況によって値が変化するので「変数」と呼ぶ。

さて、最後に高校生レベルの計算式の作り方。
多くの自称「文系」の人達が吐き気を催すかもしれない「Σ」を使う。
「Σ」は足し算の記号。実は、エクセルの足し算の記号も「Σ」になっているはず。



「Σ」の記号の下には「i=1」と書いてある。つまり、不特定番目は「1」から開始。
そして、「Σ」の上の部分で、全部で「n」個の数が存在していることが示されている。
「Σ」の横には、「」と書かれているので、「i」を一つづつ繰り上げながら「n」回」足す」。

さて、さらに、このような一般式が立てれたところで、
今度は、当初の計算の目的である「0.1」と「10」を入れてみる。
以下のように書くことができる。少々、特殊な書き方であるが。



ここまでの話はこれから書くプログラムを理解する上で重要。
この数式を実際に動かすようにプログラムすることを「実装」と呼ぶ。

では、まずは「変数」の初期値を与えてやる。初期値を必要とするのは、「sum」。
「sum」には最終的に結果が格納されるのだが、計算途中の中間結果もここに入るので、
最初に何も入っていない状態にしないといけない。これを「初期化」と呼ぶ。

sum = 0
n = 10

まずは、上記をコピーしてコンソールに貼り付ける。
そして、次に「Σ」の部分の計算。「iを1〜10の範囲で計算する」ということは、
英語にすると「for i in range of 10」なので、これを「n」を用いてPython 風に書きなおす。

for i in range(n):

最後の「：」を忘れないように。このような「for」で始まる部分を「ループ文」と呼ぶ。
「ループ文」では、処理を「入れ子」に書くことができる。プログラミングの基本機能。
Pythonにおける「入れ子」の状態は、「インデント」と呼ばれる「空白」で表す。

さて、この部分までコピーして実行すると、次の行には、「...」という行が出てくる。
今度は、「Σ」の後ろの部分を書く。ここで重要なことが一つ。
Python では、コマンドの前の「空白の数」が重要。今回は、空白を「4」つ入れる。

     x = 0.1
    sum = sum + x

スペース「空白」の部分も含めて「厳密」に一行ずつコピーする。
上手く行かなった人もいるかもしれない。そのような人は、
以下に、まとめたコマンドを準備したので、以下をコピペして実行。

sum = 0
n = 10
for i in range(n):
    x = 0.1
    sum = sum + x

ここまでを貼りつけて、コンソールの先頭が「...」の状態であれば、
もう一度、エンターキーを押して「>>>」となるようにする。
この状態では、まだ、結果は表示されないので、最後に、次のように入力して実行する。

sum

そして、この結果は以下の通りになる。

>>> sum
0.9999999999999999

あれ〜！何か、計算間違いでもしたのだろうか「1」にならない...。

実は、この結果、Python のエラーやバグではない！
これは正しい計算結果。浮動小数点の性質が原因。
「0.1」は、厳密には「0.1」では無いので、微細な誤差が累積するのである。

なお、上記の結果を「文字列型」に直には...

str(sum)

であり、その実行結果は以下の通り。

>>> str(sum)
'1.0'

となる。ちゃんと、「1.0」に戻っている。
少々、不思議な話かもしれないが、このような特徴がある。