文系のための「正規分布」（２）

正規分布の存在意義というのは、結局のところ、平均と標準偏差さえ分かれば、
「釣り鐘状」に値が分布するような関数を作ることができ、その関数を用いることで、
ある値を取る確率を簡単に計算できるということであった。

もちろん、釣り鐘状には分布しないこともあって、
その時には、残念ながら正規分布を前提にすることはできないのであるが、
別の様々な分布を前提とすることになる。

他の様々な分布を知ることは重要ではあるが、ここでは正規分布に限った話にする。
まずは、正規分布の意味が解っていれば、他の分布関数を理解する上でも、
多少の手助けにはなるだろう。

さて。前回までの話では、一般的な正規分布の話をしてきたが、
今回の話では、少し特殊な場合での正規分布について整理する。

どのように特殊なのかというと、つまり、
平均が「0」で標準偏差が「1」となるような正規分布である。
この種の正規分布のことを、一般的には、「標準正規分布」と呼ぶ。

この標準正規分布を用いると、色々と計算が便利になるので、様々なとこに出てくる。
なぜ、標準正規分布を用いるか、という話はとりあえず置いておいて、まずは基本的な話から。

さて、前回の話では、一般的な正規分布の関数の式を以下のように表した。



ここで、μは平均を表し、σは標準偏差を表したのであった。
標準正規分布では、μ=0、σ=1 となるので、以下のように表される。



確か、正規分布は、平均と標準偏差を与えれば良いだけなので、
これだけで、釣り鐘状の山を描くことができる。Rでは以下のようにする。

# Xの取り得る範囲を決める。とりあえず、-4～4くらいで。これはテキトー。
X.range <- seq(-4, 4, 0.01)

# 標準正規分布のX.range の間の f(x)の値を得る
X.dnorm <- dnorm(X.range)

# 山を描く
plot(X.range, X.dnorm, type="l", xlab="", ylab="", ylim=c(0,0.5))
title(main="Bell curve for Standard Normal Distribution")
title(xlab="Range of x value(Standard deviation)", ylab="Density")
abline(h=0)

# 平均を通る線を引く
abline(v=0, lty=2, col="red")
text(0, 0.45, expression(mu==0), cex=1.8)

この図において、x軸の値が標準偏差であり、y軸の値がその時の確率の密度を表す。
標準偏差が「0」の所で山の頂点があり、ここが平均を示している。
また、「±4」付近に山裾が存在しているのが確認できる。

標準正規分布において重要なことは、
平均からの距離を標準偏差の倍数で確率を推測するということであり、
区切りの良い距離として±1σ倍、±2σ倍、±3σ倍を用いることが多い。

とりあえず、この状況を可視化して整理してみる。まずは、±1σ倍の場合から。

なお、今回から、x軸の軸ラベルには、一般的な表記を用いるが、
平均「0」、標準偏差「1」の場合には、先ほどの図と同じ状況になる。

# 山を描く
plot(X.range, X.dnorm, type="l", xlab="", ylab="", xaxt="n", ylim=c(0,0.5))
axis(1, at=seq(-3, 3, by=1), labels=c("μ-3σ","μ-2σ", "μ-1σ", "μ", "μ+1σ", "μ+2σ", "μ+3σ"))
title(main="Bell curve for Standard Normal Distribution")
title(xlab="Range of x value(Standard deviation)", ylab="Density")
abline(h=0)

# 面積の部分を塗りつぶす
poly.x <- seq(-1,1,0.01)
poly.y <- c(0, dnorm(poly.x), 0)
polygon(c(-1, poly.x, 1), poly.y, col="lightblue")

# 平均を通る線を引く
abline(v=0, lty=2, col="red")

# キャプションを入れる。
prob <- paste(round(pnorm(1) - pnorm(-1), 3)*100, "%")
text(0, 0.1, prob, cex=1.8)

次は、±2σ倍の場合。

# 山を描く
plot(X.range, X.dnorm, type="l", xlab="", ylab="", xaxt="n", ylim=c(0,0.5))
axis(1, at=seq(-3, 3, by=1), labels=c("μ-3σ","μ-2σ", "μ-1σ", "μ", "μ+1σ", "μ+2σ", "μ+3σ"))
title(main="Bell curve for Standard Normal Distribution")
title(xlab="Range of x value(Standard deviation)", ylab="Density")
abline(h=0)

# 面積の部分を塗りつぶす
poly.x <- seq(-2,2,0.01)
poly.y <- c(0, dnorm(poly.x), 0)
polygon(c(-2, poly.x, 2), poly.y, col="lightblue")

# 平均を通る線を引く
abline(v=0, lty=2, col="red")

# キャプションを入れる。
prob <- paste(round(pnorm(2) - pnorm(-2), 3)*100, "%")
text(0, 0.1, prob, cex=1.8)

次は、±3σ倍の場合。

# 山を描く
plot(X.range, X.dnorm, type="l", xlab="", ylab="", xaxt="n", ylim=c(0,0.5))
axis(1, at=seq(-3, 3, by=1), labels=c("μ-3σ","μ-2σ", "μ-1σ", "μ", "μ+1σ", "μ+2σ", "μ+3σ"))
title(main="Bell curve for Standard Normal Distribution")
title(xlab="Range of x value(Standard deviation)", ylab="Density")
abline(h=0)

# 面積の部分を塗りつぶす
poly.x <- seq(-3, 3, 0.01)
poly.y <- c(0, dnorm(poly.x), 0)
polygon(c(-3, poly.x, 3), poly.y, col="lightblue")

# 平均を通る線を引く
abline(v=0, lty=2, col="red")

# キャプションを入れる。
prob <- paste(round(pnorm(3) - pnorm(-3), 3)*100, "%")
text(0, 0.1, prob, cex=1.8)

さて、ところで、平均「0」、標準偏差「1」、という状況から連想することはないだろうか？
確かにどこかで聞いたような。そうそう、標準化の話に似ている。
標準化の話では、標準偏差ではなく、分散が「1」と説明したが、結局は同じこと。

念のために。標準偏差を「」としたとき、分散は「」である。つまり、二乗ということ。
したがって、「」の場合、「」となる。

つまり、何が言いたいかというと、正規分布に従うデータがあって、
そのデータを標準化したデータは、標準正規分布に従うのである。
ここで、標準化の話を思い出してみる。確か、以下のような式であった。



重要なのは、右端の標準化の式である。
これを使えば、一般的な正規分布を標準正規分布に変換できる。

なぜ、これが便利なのか？

前回の話の最期に、数学嫌いの人にとって目を背けたくなる積分の式が登場した。
これを実際に「手計算」で解くのは、少々厄介なのである。
もっとも、現在は、コンピュータが計算してくれるので問題は無いのであるが...。

そういった状況があって、コンピュータが存在していない時には、
「標準正規分布表」というものを使っていた。

あらゆる正規分布の表を作ろうとすると、無限個の表を作らないといけないので、
要するに、標準正規分布の場合だけの表を作り、それを参照していたのである。
っということで、試しに標準正規分布表を作ってみる。

かなり、長くなってしまうので、マイナス方向は省略。平均を中心に対称なので構わない。
単なる表を作るだけの作業なので、余裕の無い人はパスして構わない。

# 行数を数えるための変数を初期化する
nrow <- 0

# 結果を格納するための行列を準備する
N <- matrix(ncol=10, nrow=41)

# 標準正規分布表を作成する
for(i in seq(0, 4, by=0.1)){
    nrow <- nrow + 1    # 行数を一行進める
    ncol <- 0               # 列数を数えるための変数を初期化する
    for(j in seq(0, 0.09, by=0.01)){
        ncol <- ncol + 1  # 列数を一行進める

        # 平均から上の部分の面積を計算する。これが確立。
        N[nrow, ncol] <- round(pnorm(i+j) -pnorm(0), 4)
    }
}

# 列名と行名を入れる

rownames(N)<-seq(0, 4, by=0.1)

colnames(N)<-seq(0, 0.09, by=0.01)

そして、これを実行すると、標準正規分布表が出来上がる。

> N

         0   0.01   0.02   0.03   0.04   0.05   0.06   0.07   0.08   0.09

0   0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1   0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2   0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3   0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993

3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995

3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997

3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

4   0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

少々見難い出力となってしまったが、一行目は行名で、一列目は列名である。

ちょっと、特殊な見方になっていて、行方向は小数点第一位を示していて、

列方向は小数点第二位を示している。

つまり、0.36σ のときの面積であれば、

「0.3」+「0.06」なので、4行目の7列目の値を見る。

すると、「0.1406」となっている。これが、平均「0」からの面積となる。

さて、ここで、1σ 分を見てみると、11行目の1列目の値なので「0.3413」となっている。

この値を2倍すると「0.6826」となり、±1σの値と一致する。

つまり、標準正規分布表は以下のような状況を示している。

# 片袖の標準正規分布の図を描く

x <- seq(0, 4, by=0.01)

y <- dnorm(x)

plot(x, y, type="l", xlab="", ylab="", xaxt="n")

title(main="Bell curve for Standard Normal Distribution")

title(xlab="Range of x value(Standard deviation)", ylab="Density")

abline(h=0)

# 面積の部分を描く

poly.x <- seq(0, 1.8, 0.01)

poly.y <- c(0, dnorm(poly.x), 0)

polygon(c(0, poly.x, 1.8), poly.y, col="lightgray")

text(0.8, 0.1, expression(integral(f(x)*dx,0,a)), cex=1.8)

現在では、すっかり、標準正規分布表を用いることは無くなったが、
かつては、この表を用いて確率を求めていたのである。

さて、重要なことは、要するに正規分布に従うあらゆるデータは、
そのデータを標準化することで標準正規分布に変換して考えることができる。

文系のための「正規分布」（１）

統計の最も基本的な知識でありながら、理解し難いものに「正規分布」がある。
「釣り鐘状の分布」などと言われているが、実際のところ、
何故、この分布が重要なのか？その理解に苦しむ人は多い。

例えば、庭の植木に生えている花の「花弁」を無作為に1,000枚採ってきたとする。
季節によっては、花など生えていないかもしれない。その時は同じ種類の「葉」でも良い。
とにかく、サイズを測りやすそうな植物の花弁か葉を1,000枚用意する。

そして、その長さを測るとしよう。まぁ、実際には幅でも良いのだが。

当たり前の話ではあるが、無作為に集めた1,000枚の花弁（葉）のサイズが
全て同じということはあり得ない。必ず、微妙な差が生じるのである。
では、この差がどのように現れるのか？

平均的なサイズが最も多く、それより大きくなるか、小さくなるほど数は少なくなる。
このような状況をヒストグラムで表現すると釣り鐘状に値が並ぶ。

このような分布をすることを「正規分布」と呼ぶ。

「自然界の至るところで見ることができる。」と、一般的には言われているが、
実際にそのように分布しているデータを探すのは意外に大変。
試験の結果も、身長のデータも、植物の花弁や葉も、実際には理論通りにはいかない。

では、不必要あるかというと、そういうわけでもない。

正規分布を前提とすることで、多くの統計的な処理が説明しやすくなり、
また、実用上の問題としては、正規分布に従っていなくても良いこともある。
もちろん、正規分布の前提が崩れると危険なものも存在するが…。

それでも、平均と標準偏差が分かれば、ある値の現れる確率を得れるという性質は重要。
それゆえに、現在においても、正規分布を前提とする手法は多い。

正規分布を盲目的に信用しそれを前提に置いてはならないという主張は確かにある。
しかし、だからと言って、知らないで良いわけでは断じてない！

さて、話は逸れたが、実際のデータを使いながら整理してみる。
Rには、様々なサンプルデータがあるので、今回はアヤメ（iris）のデータを使ってみる。
とりあえず、データを準備する。

# アヤメのデータを確認する。以下のコマンドを実行するだけ。
head(iris)

データの中身を見てみると、以下のようになっている。

> head(iris)
  Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa
2          4.9         3.0          1.4         0.2  setosa
3          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa
4          4.6         3.1          1.5         0.2  setosa
5          5.0         3.6          1.4         0.2  setosa
6          5.4         3.9          1.7         0.4  setosa

Sepal はガクのことで、Petal は花弁のことである。
Speciesには、アヤメの種類が入っている。

まずは、全体の状況を可視化して確認したい。
beeswarm()関数とboxplot()関数を使って、アヤメの花弁の長さを可視化してみる。

library(beeswarm)
boxplot((iris$Petal.Length ~ iris$Species))
beeswarm((iris$Petal.Length ~ iris$Species), pch=16, col="red", add=TRUE)

三種類のアヤメ、setosa、versicolor、virginicaの花弁の長さの分布が示されている。

今回は、少々、変わった方法でデータを指定しているが、
これはモデル式と呼ばれる方法による指定。
Petal.Lengthという変数の値をSpeciesという変数で分けるという意味。

非常に有名なデータで、よく、チュートリアルデータとして用いられる。
このデータは、ロナルド・フィッシャーという有名な統計学者が、
判別分析という手法を紹介するためのサンプルデータとして紹介したものである。

元々は、エドガー・アンダーソンという人物が、
アヤメの形状を定量的に分析するために、
北アメリカのガスペ島という所で収集したものらしい。

とのかく、このデータは、3種類のアヤメについて、50株ずつ採集し、
ガクの長さと幅、花弁の長さと幅の4変数について測定されたものである。

さて、今回は、解りやすいようにsetosaの花弁のデータを用いることにする。
なんとなく、正規分布に従っていそうでもある。

X <- split(iris$Petal.Length, iris[,5])[1][[1]]
hist(X.sample)

ここでは、split()関数が新しく登場している。
この関数は、元のデータから、特定の列の値で切り分けるための関数である。

今回の場合は、花弁の長さのデータを、setosaで切り分けている。
最後に、[[1]]を付けているのは、list型からベクトルを取り出すためのオマジナイ。

さて、準備が出来たところで、早速、正規分布の特性について整理していく。

まず、正規分布は、ある値の発生する可能性を「確率」として表すことができ、
その確率を推定するための「関数」を「平均」と「標準偏差」によって決めることができる。

# setosaの花弁の長さの最小と最大をxの取る範囲とする
X.range = seq(min(X), max(X), 0.01)

# setosaの花弁の長さの平均と標準偏差で正規分布を描く
X.dnorm <- dnorm(seq(min(X), max(X), by=0.01),mean(X),sd(X))
plot(x=X.range, X.dnorm, type="l", col="red", xaxt="n", yaxt="n", ylim=c(0,2.6), xlab="", ylab="")

# setosaの元のデータの分布を重ね合わせる。
par(new=TRUE)
plot(density(X, cut=0), xlim=c(min(X), max(X)), ylim=c(0, 2.6))

Rでは、正規分布を描くためのdnorm()関数が用意されていて、
このパラメータに、x軸の値のベクトル、平均、標準偏差を与えてやると、
x軸の値に対応するy軸の値、すなわち、正規分布を描く関数によって導かれた値が出る。

今回は、x軸の値は、setosaの最小値〜最大値の範囲を等間隔に0.01刻みで与えている。
ある分位数を与えていると考えることもできる。Rのマニュアルではそのようになっている。
要するに、y軸の値を求めるときのx軸の値。刻み幅が小さいと鋭角な折れ線となる。

この図では、元のデータとの重ね合わせを行なっているが、今の段階では、
とりあえず、分布密度を取ったヒストグラムに対応するものと理解しておけば良い。
ヒストグラムとは異なり、ある関数を用いて推定を掛けている。

これを見てみると、赤い曲線で描いた正規分布の曲線と、
黒い曲線で描いた元のデータの推定は、なんとなく似た状況を示している。

さて、話を元に戻す。

そうそう、正規分布を描くと、ある値の取る可能性を知ることができる。
例えば、「花弁の長さが1.3センチよりも小さい」という状況は、
どの程度の確率で発生するのか？

そのようなことが、簡単に知ることができるのである。

イマイチ、ピンと来ないかもしれないが、
ある事象の起こり得る確率を求めるのは非常に難しい。
サイコロの目のように、離散的な値であれば良いが、
連続的な値の場合はもっと難しい。

正規分布というのは、「平均」と「標準偏差」だけ与えてやれば、
簡単に確率を教えてくれる。そういう、魔法がかかっているのである。

では、どうすれば、その「確率」とやらを教えてくれるのだろうか？
それを知るためには、まずは、正規分布の「関数」を知らなくてはならない。



ここからは、少し辛抱。厄介な式が出てくるが、要するに、「平均」と「標準偏差」、
そして、「xの値」が分かれば、釣り鐘状の山を描けるような関数であることが解れば良い。

唯一、意味不明なものが、「e」 の記号。これは、指数関数を表している。
説明をし始めると先に進まないので、とりあえずは、この記号は関数であって、
この関数のべき乗の部分が解れば、何かの値が出てくると理解しておく。

いずれ、指数関数の説明はしなければならない。

何度も繰り返すが、この関数は、平均と標準偏差だけが解れば良い。
この二つさえ知ることができれば、確率がでてくる。
xの値は分位数なので気にする必要は無い。

では、なぜ、確率が求められるかというと、
実は、この関数によって描かれる釣り鐘状の山の面積が「1」となるため。
つまり、面積の広さを確率として求めているのである。

したがって、確率を求めたいある範囲があって、それに対応するxの値が解れば、
この正規分布を描く関数を使って、面積を求めることができる。
そして、その面積こそが、真に知りたい確率となる。

ところで、正規分布において平均と標準偏差は何を意味するのか？

まず、この関数において平均は釣り鐘状の分布の最も高い地点に当たる。
そして、厳密に正規分布に従う場合この地点は中央値にも一致する。

そう言えば、対象数が多ければ、平均と中央値が近づくという話をした。
つまり、そのような状況は正規分布を前提としているのである。

一方、標準偏差というのは、要するに、バラツキの指標であって、
バラツキが大きいということは、それだけ、「山の裾」は広がる。

面積が「1」に固定された状態で、山裾が広がるということは、山の形は扁平になり、
逆に、標準偏差が低いということは、裾が狭まるので、山の形は切り立つ。

かなり、遠回りしたが、先程の例の場合の場合はどうなるか？つまり、
「花弁の長さが1.3センチよりも小さい」場合は、どのような確率であろうか？
実際には、かなり複雑な計算となるので、まずはRでの実行から。

pnorm(1.3, mean(X), sd(X))

Rでは、pnorm()関数を用いるとこの計算ができる。実行結果は以下の通り。

> pnorm(max(X), mean(X), sd(X))
[1] 0.1754524

この結果から、17.5%の確率で出現することが解った。
当然、この結果は、あくまで正規分布に従ったという前提の下ではあるが、
正規分布に従っているという前提を与えることで、容易に確率を求めることができる。

では、これはどのような状況なのか、可視化して確認してみる。

# 正規分布を描き直す
X.dnorm <- dnorm(seq(min(X), max(X), by=0.01),mean(X),sd(X))
plot(x=X.range, X.dnorm, type="l", col="red", xlab="", ylab="")

# タイトルと軸ラベルの設定
title(main="Probability of occurence for petal length within 1.3cm")
title(xlab="Length of Petal", ylab="density")

# 面積の部分を塗りつぶす
poly.x <- seq(1,1.3,0.01)
poly.y <- c(0,dnorm(poly.x, mean(X),sd(X)),0)
polygon(c(1,poly.x,1.3), poly.y, col="red")

# 理解しやすいようにオマケ
caption <- paste(round(pnorm(1.3, mean(X), sd(X))*100, 2), "%")
text(1.2, 0.25, caption, cex=1.3, col="white")

結局は、この赤色の面積のことを言っているのである。

ところで、この面積は、正規分布の積分で表され、
今回の例で言うと、1.3に当たる部分を一般化して「a」と置き、
「a」よりも小さい値が発生する確率を、 と置くと次のようになる。



積分は、丁度、f(x)とx軸で囲まれた部分の面積に相当するため、
この式によって、ある値「a」よりも下の値を取る場合の確率が求まる。
ちなみに、面積「1」の場合は、つまり全ての範囲は、以下のようになる。



実は、この積分を計算するのは、少々厄介で、しかも、どうにも解りにくい。
そこで、一般的には、標準正規分布と呼ばれる、
ある特殊な正規分布の形に変換してこの部分の面積を求めることができる。

この話については、次回に。

文系のための「数の可視化」（７）

ヒストグラムと箱ヒゲ図は、両方とも分散あるいは標準偏差の状況を
視覚的に解りやすく表現したものである。

ヒストグラムは、全体的な分布の形を視覚化し、
データの偏り方を視覚化する。

一方、箱ヒゲ図は、全体的な分布の範囲を四分位で表し、
データの偏り方を視覚化する。

分散や標準偏差というのは、全体のバラツキの程度を指標化しているだけ。
それに対して、箱ヒゲ図やヒストグラムは、全体のデータの偏り方を観察できる。

また、標準偏差からの乖離の程度を見たり、
あるいは、対応する分布を考えるためにも用いる。

これらは、統計においては、非常に重要なことである。

さて、今回は、この辺りの話には深入りせず、
もう少し、データのバラツキの可視化方法について考えてみる。

「箱ヒゲ図」と「ヒストグラム」の両方の特性を併せ持った可視化方法がある。

ここで紹介する方法は、かなり魅力的。利用価値も高い。
それにも関わらず、あまり、出回っていないから不思議である。
未だに、箱ヒゲ図を使った図しか見ない。

悪しきソフトウェア依存の習慣が原因だろうが。
まぁ、そういったことはどうでも良いことである。

さて、今回は以下の３つの方法を紹介する。

• ヴァイオリン・プロット（violin plot）
• ビーンズ・プロット（bean plot）
• ビースウォーム（beeswarm）

基本的には、箱ヒゲ図であるが、ヒストグラムの特徴も持っている。

慣れると、箱ヒゲ図よりも得られる情報量が多く、可読性も高い。

これらは、Rの初期状態では使えない。パッケージのインストールから始める。
Rコンソール上で、次のようなコマンドを入力する。

ダウンロード先の指定の画面が出てきたら、最も近い場所を選ぶ。
別に、どこを選んでも良いのだが、遠いとダウンロードに時間がかかる。

そうそう。ダウンロードだから、インターネットの接続環境が必要。

install.packages("vioplot", dep=TRUE)        # ヴァイオリンプロット
install.packages("beanplot", dep=TRUE)     # ビーンプロット
install.packages("beeswarm", dep=TRUE)   # ビースウォーム

インストール作業は、最初の一回のみ。install.packages()関数を用いる。
引数にdep=TRUEとあるが、これは依存関係の確認の有無。

Rでは、様々なパッケージを組み合わせるので、
目的のパッケージだけでは動かない場合がある。

TRUEにしておくと、足りないパッケージは自動的にインストール。

さて、インストールができたら、今度は、ライブラリを読み込む。
ライブラリの読み込みは、毎回必要。
読み込まないと使えない。ヘルプも見れない。

library(vioplot)
library(beanplot)
library(beeswarm)

では、さっそく。と言いたいところであるが...。

新しく、パッケージをインストールしたら、最初にヘルプを確認すること。

R使いは、ヘルプを見るのが当たり前。いや、見ないと何もできない。
教科書やホームページに頼ってばかりではいけない。

最初は、パッケージついての情報を確認する。

help(package="vioplot")

ここで重要なのは、「Index:」 と書かれている部分から下の部分。
左端に「vioplot」とあり、空白の右側に「violin plot」と書いてある。

実は、左端が関数名で、右側はその説明。
ふむ。vioplotの説明は、非常に不親切なようである。説明が少ない。

vioplotパッケージには、一つの関数しか含まれていないようであるが、
パッケージによっては、数十もの関数を含む場合もある。

これで、関数名が解ったので、今度はvioplot()関数のヘルプを確認する。

?vioplot        # あるいは、help(vioplot)

最も重要な部分は、「Usage:」の部分。パラメータの確認はここで。
その次に、「Arguments:」の部分で、各パラメータの説明を確認する。
最後に、「Example:」を確認して、使い方を確認する。

まぁ、理解しにくいものや、無理に理解する必要の無いものもあるのだけれど、
その辺りの判断には、ある程度の慣れが必要。

同様に、他のパッケージについても確認。これは各自で。
ひと通り、確認したところで、いよいよ、実際に使ってみる。

今回のデータは、何するか？迷うが、発電所のデータにしてみるか。

このデータは、平成22年度の「地域別発電電力量」のデータ。
総務省統計局からダウンロードしたものを編集したもの。詳細は、棒グラフの話。

これをいつものように、

# Windows と Linux の人は次のコマンド
X <- read.table("clipboard", sep=",") 

# Mac の人は次のコマンド
X <- read.table(pipe("pbpaste") , sep=",")

入力して、その後に以下をコピーして、コマンドを実行する。

pnum,max,hydro_pnum,hydro_max,thermal_pnum,thermal_max,atomic_pnum,atomic_max
Hokkaidou,66,7419,53,1234,11,4065,1,2070
Touhoku,228,17206,209,2423,13,11286,2,3274
Tokyo,192,64988,162,8981,25,38696,3,17308
Chubu,197,32828,183,5219,11,23969,1,3617
Hokuriku,138,8057,127,1904,6,4400,1,1746
Kansai,165,34877,149,8196,12,16907,3,9768
Chugoku,110,11986,97,2906,12,7801,1,1280
Shikoku,65,6963,58,1141,4,3797,1,2022
Kyushu,194,20330,139,3279,45,11577,2,5258
Okinawa,22,1919,0,0,21,1919,0,0

前処理として、色を付けるための色の定義を。
これは、棒グラフの話で出てきた色の定義方法。

col.h <- rgb(50, 100, 255, maxColorValue = 255)  # 水力発電所のイメージ色
col.t <- rgb(255, 100, 50, maxColorValue = 255)  # 火力発電所のイメージ色
col.a <- rgb(200, 255, 100, maxColorValue = 255)  # 原子力発電所のイメージ色??

まずは、通常の箱ヒゲ図から。今回は発電所種別ごとの総出力で見てみる。

boxplot(X[,c(4,6,8)], names=c("Hydro","Thermal","Atomic"), col=c(col.h, col.t, col.a))

title(main="Maximum output of electronic plants in Japan", ylab="Maximum output (Kw)")

これは大丈夫のはず。これで、何の変哲もない、普通の箱ヒゲ図が描けた。

次に、ヴァイオリン・プロット。描き方はかなり異なる。

vec.h <- as.vector(X[,4])    # 元のデータから水力発電の総出力をベクトルで抽出
vec.t <- as.vector(X[,6])    # 元のデータから火力発電の総出力をベクトルで抽出
vec.a <- as.vector(X[,8])    # 元のデータから原子力発電の総出力をベクトルで抽出

vioplot(vec.h, vec.t, vec.a, names=c("Hydro","Thermal","Atomic"), col="lightpink")
title(main="Maximum output of electronic plants in Japan", ylab="Maximum output (Kw)")

violot()関数は、ベクトルデータを並べて指定する。
そのため、vec.h、vec.t、vec.a の３つのベクトルを作成し、
それぞれ、水力発電、火力発電、原子力発電の総出力を代入。

実は、色を個別に付けるのは無理なので、ここでは、薄いピンク色。
ソースコードが公開されているので、修正することは難しくないが、
後々になって、説明することが面倒なので、そのままで。

中心の白い「○」が中央値。
真ん中の黒い「帯」がIQR（四分位範囲）。
真ん中を突っ切る「線」がIQRの±1.5倍のヒゲ。

左右に広がる薄いピンクの「山」は、カーネルと呼ばれる密度推定の山。
これが、ヒストグラムに相当する。カーネルの話はいずれ。

vioplot()関数は、ヒストグラムの特性と箱ヒゲ図の特性を合わせた特性を持ち、
重要なこととして、箱ヒゲ図で表現されている全て情報も表現している。
問題は、データの指定方法で、この関数だけデータの指定方法が特殊である。

今度は、ビーンプロットを試してみる。

beanplot(X[,c(4,6,8)], names=c("Hydro","Thermal","Atomic"), col="lightblue", 

    main="Maximum output of electronic plants in Japan", ylab="Maximum output (Kw)", cut=0)

beanplot()関数でのデータの選択は、箱ヒゲ図と同じ。

このグラフにおいて、真ん中の太い線は、中央値を表し、

複数の細い「線」は、データが存在している場所を示している。

横に広がる「山」は、vioplot()関数と同様にカーネルの山。

vioplot()関数と比較すると beanplot()関数の山は細かく波を打っている。

これは、カーネルのパラメータの違い。カーネルは、様々な描き方ができる。

beaswarm()関数は、他の二つの方法と比較して、

分布に重点を置いているため、より詳細な密度推定が可能となる。

その一方で、箱ヒゲ図と比較して、外れ値やIQRの表現力は低い。

注意するべきは、cut パラメータ。この値は「0」にする。

既定のままだと、データが存在しない所まで山裾が広がってしまう。

色に関しては、複数のbean（マメ）の色を変えることはできず、

title()関数を使って、後から、タイトルを入れることもできない。

最後はビースウォーム。

beeswarm(X[,c(4,6,8)], labels=c("Hydro","Thermal","Atomic"), col=c(col.h, col.t, col.a), pch=16)

title(main="Maximum output of electronic plants in Japan", ylab="Maximum output (Kw)")

beeswarm()関数は、分布をカーネルの山で表現せず、実際の点を布置する。

今回の場合は、対象数が少ないので、見難いが、

対象数がある程度あれば、この方法が最も誤解無く情報を伝えることができる。

boxplot()関数と異なるのは、ラベルの指定パラメータ。

boxplot()関数がnames であるのに対し、beeswarm()関数では labels となっている。

beeswarm()関数は、他の二つの方法と比較して、推定を用いていないため、

より実態に即した情報を伝えることができるが、外れ値やIQRの表現はできない。

ただし、色の指定は可能なので、色分けをしたい場合に使えるというメリットがある。

さてさて。では、今回紹介した方法のうちで、最も適切なものはどれか？

結論から言うと、ケース・バイ・ケースであるが、無難な方法はビースウォーム。

うん？色々と欠点があるのに？

実は、ビースウォーム・プロットの欠点は、

箱ヒゲ図と重ね合わせることで克服できる。

boxplot(X[,c(4,6,8)], names=c("Hydro","Thermal","Atomic"))

beeswarm(X[,c(4,6,8)], labels=c("Hydro","Thermal","Atomic"), col="red", pch=16, add=TRUE)

title(main="Maximum output of electronic plants in Japan", ylab="Maximum output (Kw)")

beeswarm()関数のパラメータの最後に add=TRUE としてある。

このようにすることで、前に描画したプロットに、新しいプロットを追加できる。

なお、この方法は、他の方法にも適用できるが、

ヴァイオリン・プロットやビーンプロットを箱ヒゲ図に重ねるメリットは無い。

文系のための「二変数の関係」（１）

前回の話では、以下のことについて説明した。
「偏差」は、平均からの離れ具合であり、個々の個性を表した。
「分散」は、偏差の二乗の和であり、全体として個性の強さ、バラツキを表した。
そして、「標準偏差」は、分散の平方根をとったものであった。

ふむ。ようやく、データを観察する上での第一段階はクリア。
では、異なる変数（属性）同士の関係を観察するには、どうすれば良いか？
まずは、前回のデータの読み込みから。前回と同じ作業。

# Windows と Linux の人は次のコマンド
X <- read.table("clipboard", sep=",", header=TRUE)

# Mac の人は次のコマンド
X <- read.table(pipe("pbpaste") , sep=",", header=TRUE)

以下が、そのデータ。前回のものを再掲しただけ。

データの説明に関しては、平均の話を参照。

Oroshi_Kg, Taka, Naka, Yasu
Tai, 1336, 3150, 1217, 53
Chinu, 226, 630, 513, 105
Sawara, 212, 1575, 1259, 840
Yazu, 4834, 840, 315, 179
Suzuki, 618, 1575, 1146, 525
Akou, 21, 4725, 3129, 1575
Kochi, 28, 2100, 874, 210
Okoze, 28, 5250, 2635, 210
Ainame, 29, 3150, 621, 315
Hage, 1205, 1890, 383, 210
Konoshiro, 21, 2100, 1100, 105
Sayori, 12, 5250, 3916, 1260
Anago, 1637, 2625, 1721, 630
Mebaru, 330, 4200, 1680, 315
Tachiuo, 1211, 2310, 930, 105
Hamo, 1622, 3938, 592, 53
Karei, 41, 6300, 3178, 525
Hirame, 540, 2100, 1496, 210
Aji, 5149, 3150, 789, 210
Saba, 5413, 3675, 625, 53
Ika, 2414, 2888, 1083, 105
Tako, 1844, 1890, 1180, 525
Ebi, 560, 7350, 1420, 525
KurumaEbi, 222, 8925, 6508, 2625
Koiwashi, 1316, 1155, 617, 328
ObaIwashi, 2716, 499, 267, 175
Mentai, 678, 1155, 859, 394
Hamachi, 4772, 998, 632, 105
Isaki, 268, 2625, 1465, 840

現在、Xという行列の変数に、「魚の卸売価格」の情報が入っている。
このデータを使って、各変数間の関係を観察していくことにする。

さて、ある変数と別の変数との関係とは何か？
そもそも、二つの変数の間に、関係が「ある」のか？、「ない」のか？

もしも、関係があるとしたら、何らかの法則があるはず。
直感的に、考え得る法則は、二つある。
一つ目は、一方の値が高いときに、もう一方も高いという法則（連動）、
二つ目は、一方の値が高いときに、もう一方は低いという法則（反連動）。

どうすれば、この状況が理解できるか、少し考えてみる。

まずは、連動している場合を考えてみる。どのような状況であるか？
一方の値が「＋」に向いているとき、もう一方は「＋」に向く。
一方の値が「−」に向いているとき、もう一方は「-」に向く

ここで、小学校で習ったことを、思い出してみる。
「+」 × 「+」 = 「+」　であり　「-」×「-」 =「+」　また　「+」 × 「-」 = 「-」　
という、あの法則。確か、そのようなことを教わった。

・連動の場合、ある対象における二つの変数をかけ合わせると、
　その結果は、「+」方向に大きくなるし、
・反連動の場合、ある対象における二つの変数をかけ合わせると、
　その結果は、「-」方向に大きくなる。
・いずれでもない場合、「+」と「-」が打ち消し合って、「0」に近づく。

では、実際に、どのように計算するのかを整理する。
二つの変数、「」と「」があったとして、次のように考えることができる。

この計算結果の「正負の符号」を見れば、上の法則のいずれかが解る。

ところで、この式を観察してみる。
なんと、分散の式のΣの計算の部分と似ている。

もしも、＝ であれば、二乗となるので、この部分は分散と同じ。
したがって、分散の式に合わせて、次のように考えることもできる。



二つの変数の「バラツキ」を同時に見ているので、これを「共分散」と呼ぶ。
とにかく、この指標の「正」と「負」の大きさを観察すれば、
二つの変数間の全体として関係が解りそう。では、実際の計算を。

そうそう、行列Xと同じサイズの、平均が並んでいる行列が必要なのだった。
これは、前回にもやったので、説明は省く。処理の内容だけ。

# ステップ1：データの総数（n）を求める。

n <- nrow(X)

# ステップ2：卸売数量の平均を求める。転置が必要。

m <- t(colMeans(X))

# ステップ3：行列の引き算ができるように、平均値を総数個複製する。

M <- matrix(rep(m, each=n), nrow=n, ncol=4)
# ステップ4：元の行列から、平均値が複製された行列Mを引き算する。
A <- X-M

とりあえず、これで準備完了。気を取り直して、計算してみる。
全組み合わせは大変。今回は、卸売数量と高値の関係に注目してみる。
この二つの共分散を求める方法は以下の通り。ベクトルの掛け算。

(A$Oroshi_Kg %*% A$Taka)/(n-1)

そして、その結果。

> (A$Oroshi_Kg %*% A$Taka)/(n-1)
         [,1]
[1,] -1026368

ふむ。マイナスの結果が出てきた。反連動の関係のようだ。
っで、これは、大きいのか？それとも、小さいのか？
場合によっては、実は、反連動とは言えないかも。判断に困る。

可視化してみると、状況が解るかもしれない。
とりあえず、元の行列Xで確認してみる。

plot(X$Oroshi_Kg,X$Taka)

これを「散布図」と呼ぶ。横軸が卸売数量で、縦軸が高値。
共分散によって表される状況を可視化したものと言える。

さて、結果は...というと、何とも、微妙な...。
なんとなく、右肩下がりになっているような...。
とにかく、コメントしにくい結果である。正直言って、解釈に困る。

反連動と言えなくはない。が、やはり、その程度は不明。
そこで、この結果を、なんとか一般的にわかりやすいようにしたい。
どのようにすれば、良いか。考えてみる。

要するに、この問題は、共分散の上限と下限が決まっていないのが問題。
したがって、上限と下限が、固定されれば問題は解決できそうである。

わかりやすいように、偏差の値が、「-1〜1」の間に収まるようにすれば良いか。
つまり、何かの単位で揃えるということか。うん？単位にする？
単位にするということは、何かの逆数を掛ければ良かった。

では、二つの変数の共分散を考えた時、
正の方向に値が最も大きくなるのはどような状況か？

ここで、直感的に分かった人はセンスが良い。実は、二つの変数が同じ状況。
この状況は、分散と呼ばれる状況であった。では、分散で単位化すれば良いか？

それはでは「ダメ」！分散は、元の値よりも二乗分値が大きいのであった。
では？何で単位を揃えるべきか。そうそう。思い出した。
平方根をとって元と比較したもの。「標準偏差」を使おう。

まずは、標準偏差を求めたい。これも復習。sd()関数を使う。
今回は、結果を変数に入れておく。カッコで括っているのは、結果を表示させるため。

(X.sd.o <- sd(X$Oroshi_Kg))

(X.sd.t <- sd(X$Taka)) (X.sd.n <-  sd(X$Naka)) (X.sd.y <- sd(X$Yasu))

実行結果は、以下のようになる。

> (X.sd.o <- sd(X$Oroshi_Kg))
[1] 1677.734
> (X.sd.t <- sd(X$Taka))
[1] 2052.045
> (X.sd.n <-  sd(X$Naka))
[1] 1323.899
> (X.sd.y <- sd(X$Yasu))
[1] 553.1923

次に、行列Aを作成した時の「ステップ3」を応用して、
行列Xと同じサイズの標準偏差が入った行列を作成する。今回、結果は省略。

(S <- matrix(rep(c(X.sd.o, X.sd.t, X.sd.n, X.sd.y), each=n), nrow=n, ncol=4))

次に、偏差が入っている行列、すなわち行列Aを標準偏差で基準化する。

行列の「成分の割り算」であって、行列そのものの計算ではない。

間違っても、逆行列と混同してはいけない。

Z <- A/S

さて、ちゃんと基準化されているかを確認してみる。

各変数における分散が1となっていれば良いはず。

var((A/S)$Oroshi_Kg)
var((A/S)$Taka)
var((A/S)$Naka)
var((A/S)$Yasu)

実行結果は以下のようになる。確かに、上手くできている。

> var((A/S)$Oroshi_Kg)
[1] 1
> var((A/S)$Taka)
[1] 1
> var((A/S)$Naka)
[1] 1
> var((A/S)$Yasu)
[1] 1


ついでに、この時の平均についても確認しておく。平均は全て「0」。

colMeans((A/S))

そして、その実行結果。結果は、微細な計算誤差があるが限りなく「0」。

結局、上限が1となるように、上限と下限を圧縮しているので、

ちょうど、真ん中となる平均は、基準化する前と変わらず「0」のまま。

> colMeans((A/S))
    Oroshi_Kg          Taka          Naka          Yasu 
-3.840319e-17  1.007336e-16 -6.346695e-17  1.339924e-17 

以上の結果から、このように基準化を行うと、分散が1、平均が0となる。

このような基準化の方法を「標準化」と呼び、標準化された値を「Z値」と呼ぶ。

なお、標準化の英語は「scale」と呼ぶ。Rには、scale()関数がある。

かなり、面倒な手続きを踏んだが、以下のようにすれば、

元の行列Xから、簡単に標準化された行列を算出できる。

Z <- scale(X)

ここで、標準化の式も示しておく。以下の値は、個々の成分に作用する。

左から順に。左端は、「i」番目の変数「x」の「z」値という意味。
真ん中のは、「i」番目の変数「x」における実際の計算の式。
右端は、象徴的な式。ある変数xから平均を引いて、
標準偏差で基準化している状況を表している。

では、標準化されたデータを用いて共分散を計算してみる。
共分散は、ベクトルの掛け算で計算できた。解は、-1 〜 1 の間に収まるはず。

(Z$Oroshi_Kg %*% Z$Taka)/(n-1)

そして、その結果。

> (Z$Oroshi_Kg %*% Z$Taka)/(n-1)
           [,1]
[1,] -0.2981213

ふむ。この結果を見てみると、負の値となっているが、それほど大きくない。

卸売数量と高値の関係を、反連動というには難がありそう。

さて、このように標準化を行ったデータで共分散を見てみると、

相互の関係性が「-1〜1」の間に収まるので、見通しが明瞭になる。便利である。

こういった便利な方法には、大抵名前がついている。

これが、いわゆる「相関係数」と呼ばれる指標である。

これまでは、「連動」と「反連動」という言葉を使ってきたが、一般的では無い。
通常は、この相関係数から、「正の相関」と「負の相関」と呼ぶ。

余談ではあるが、「負」という言葉な否定的なイメージを持っているため、
「分析上、あまり良くない傾向が出ている」と勘違いする人がいる。
これは大きな間違い。「負の相関」が強く現れるデータにも意味がある。

ところで、今回は、元の値を標準化して、その共分散として相関係数導いた。
しかし、相関係数は別の方法で導くことも可能であり、
以下の式によって、計算することが可能である。
ここでは、二つの変数を「」と「」として、

少し複雑に見えるかもしれない。よく見れば、難しくない。

分子は、共分散のΣの中身になっている。そして、

分母は、「」と「」の分散のΣの中身の平方根になっている。

ここで、「=」の状況を考えてみる。つまり、2つの変数が同じ状況。

確か、平方根の二乗は、元の数に戻るのだったから、

となり、相関係数の値が出てくる。よくできている。

もちろん、Rには、相関係数を算出する関数がある。

通常は、このような回りくどいやり方をせず、次のようにする。

cor(X$Oroshi_Kg, X$Taka)

cor(X$Oroshi_Kg, X$Naka)

cor(X$Oroshi_Kg, X$Yasu)

実行結果は、以下の通り

> cor(X$Oroshi_Kg, X$Taka)

[1] -0.2981213

> cor(X$Oroshi_Kg, X$Naka)

[1] -0.4143816

> cor(X$Oroshi_Kg, X$Yasu)

[1] -0.3617937

ふむふむ。相関係数は、cor()関数の使うのである。

これは、便利。よく使う関数のひとつである。

上記の結果から、卸売数量と高値、中値、安値の関係を見てみると、
全て負の値をとっているので、反連動的な傾向を持っているようである。
一般的に、魚の希少価値が値段に反映すると言われているので、
そのような傾向が相関係数にも現れているのかもしれない。

ただし、これらの値を見てみると、いずれの値も-1よりも0に近く、
したがって、明らかに、「負の相関」があるとは言えない。

希少価値があっても、クセが強くて用途が限られる不人気な魚や、
逆に、希少価値は低いが、需要が高く、結果として高価となる魚もある。
今回のデータでは、そうした例外的な状況が影響しているようである。

最後に、直感的に強い関連がありそうな組み合わせもやってみる。
おそらく、中値と安値は、強い正の関係がありそう。どうなる？

> cor(X$Naka, X$Yasu)
[1] 0.8704575

結果を見てみると、0.87と1に近い値が出てきた。これは、正の相関と言えそう。
では、このような状況は、どのように可視化できるか？前にやったことを思い出す。

たしか、共分散の関係を標準化したのが相関係数だったので、
散布図で可視化すれば、この状況を上手く表現できるだろう。

plot(X$Naka, X$Yasu)

今度は、明らかに右肩上がりの図になっている。このような散布図を書いた場合、
「正の相関」が強いものは、右肩「上がり」の図となり、各々の点は対角線に集まり、
「負の相関」が強いものは、右肩「下がり」の図となり、各々の点は対角線に集まる。
2つの変数間の関係を観察するには、相関係数と散布図を見比べるのが良い。

なお、「0.7以上は相関がある」などと聞くが、その表現は、正しくない。
相関の基準は、誤差の許容範囲と対象数に依存するのであって、
一般的な基準値が存在しているわけではない。この話は、いずれ詳しく述べる。