分析の基本は、分析の前にデータの性質を理解することである。
さて、そのような愚痴はさておき、
本日は多次元データの要約を可視化する方法について考える。
ケトレーの話にも通じるが、データを観察する上で最も基本となるのは、
データの中心からのバラツキであって、
分散、標準偏差、共分散、相関係数といった指標があった。
また、これらの指標に加えて、四分位やヒンジというのもあった。
さらに、それを可視化する方法として、
ヒストグラム、散布図、箱ヒゲ図、などがあった。
ところで、分散と共分散あるいは相関係数を同時に表現する方法として、
分散共分散行列と相関係数行列があった。
そこで、今回は分散共分散行列と相関係数行列を可視化する方法について述べる。
分散共分散行列と相関係数行列はどのような構造であったか？
確か、分散共分散行列の場合は、対角成分に分散が入っていて、
その他の成分には共分散が入っているような対象行列であった。
一方、相関係数行列は、対角成分が「1」であり、
その他の成分には、相関係数が入っているような対象行列であった。
つまり、結論から述べると散布図行列というのは、
対角成分にバラツキを表すグラフが入り、
それ以外の成分には、散布図が入るような視覚化方法である。
散布図行列には、様々なバリエーションが存在し得るので、
今回は、基本的な見方と基本的な形式のみを紹介する。
では、さっそく、データを読み込んでみる。
今回は、いつもとは異なった方法でデータの読み込みを行なってみる。
今回のデータは少し大きいので、Google Spreadsheet にデータを置いてある。
このデータを利用するためには、RCurlというパッケージを必要とする。
インストールした記憶の無い人は、まずは、このパッケージをインストールする。
インストールの説明は、新しい箱ヒゲ図の話でしているので、そちらを参照。
install.packages("RCurl", dep=TRUE)
インストールできたら、とりあえず、ライブラリを読み込む。
library(RCurl)
ライブラリを無事に読み込めたら、次は、以下のコマンドを実行する。
# Google Spreadsheet からデータをダウンロードする
data <- getURL("https://docs.google.com/spreadsheet/pub?key=0AtOtIs5BjRVhdHo0c0pjb29OTU9aV3BmQUFJUWJQa0E&single=true&gid=0&range=A1%3AK48&output=csv")
# ダウンロードしたデータを読み込む
X <- read.table(textConnection(data), header=TRUE, row.names=1, sep=",")
エラーが出なければ問題は無いはず。念のために、データの確認を行う。
head(X)
head()関数は、データの先頭6行を読み込んで表示するための関数。
データの中身を確認するために用いる。実行結果は以下の通り。
> head(X)
HM ELD HC CHR SC LI SP ENV DIS IC
Hokkaido 11.3 35.1 34.1 21.2 44.3 14.4 15.5 24.1 5.4 17.9
Aomori-ken 15.2 21.0 22.4 13.3 55.2 7.9 8.4 19.9 8.3 8.0
Iwate-ken 6.0 26.1 12.5 15.9 33.1 10.6 15.6 16.9 11.8 26.9
Miyagi-ken 22.8 40.6 32.8 20.7 43.4 13.4 14.3 22.6 15.2 40.4
Akita-ken 4.9 19.5 25.1 16.1 41.2 7.4 9.8 12.8 10.4 33.2
Yamagata-ken 7.4 26.5 13.4 15.8 33.3 9.5 11.4 13.0 5.9 8.7
ふむ。この状況、一つ一つを丁寧に見れば、解らなくは無いのだが、どうも見難い。
そこで、この状況を散布図行列を使って可視化してみる。
pairs(X)
pairs()関数は、散布図行列を作成するための関数であり、
分散共分散行列あるいは相関係数行列の状況を可視化したようなもの。
したがって、相関係数行列の各成分に相当する散布図が、
散布図行列の各要素に相当する散布図になっている。
また、散布図行列の対角を挟んで上側と下側の散布図は、
x軸とy軸が入れ替わっているだけで、結局は同じ状況を示している。
ここでは、とりあえず、下側にだけ注目してみることにする。
まずは、先程の比較的関係が強そうなENVとLIの関係に着目してみる。
ENVと他の変数との相関係数がどこに入っていたかと言うと、
相関係数行列では8行目に入っていた。LIとの関係は、6列目。
したがって、散布図行列においても8行目を見てみる。
すると、y軸の目盛りが右側に書いてある。これが、ENVの値。
LIとの関係は、相関係数行列における6列目であったので、
そのまま、右方向に進み、6番目の散布図を見てみる。これが、ENVとLIの散布図。
LIの値はというと、6列目に並んでいる散布図の一番上の散布図のx軸に書いてある。
y軸の目盛りは左右交互に、x軸の目盛りは上下交互に書いてあるが、
この見方は、相関係数行列と対比しながら見れば解るであろう。
さて、この8行目の6列目の散布図を見てみると、
他の散布図と比較すると、対角線上に綺麗に点が並んでいるように見える。
LIの値が右側に増えるに従って、ENVの値は上に向かって増加しているので、
この二つの変数は連動している。
散布図行列だけを見てみると、LI:CHRとSP:CHRも、なんとなく右肩上がり。
この散布図の場所は、それぞれ、6行目4列目と7行目4列目なので、
そこに該当する相関係数を見てみると、それぞれ、「0.564」と「0.495」となっていて、
今回のデータで見てみると、相対的に相関係数は高い値となっている。
では、逆に対角線に集まって「なさそうな」ものはどれか？
対角を挟んで下側だけで考えてみる。
SC:CHR（5行目4列目）と、SP:SC（7行目5列目）が、対角線上には並んでいなさそう。
相関係数は、それぞれ、「-0.001」と「0.001」であり、やはり、関連は無さそうである。
この二つは、特に関係してい「なさそうな」組み合わせであるが、
散布図が全体的に散らばっているならば、
散布図に対応する相関係数は「±1」よりも「0」に近いハズ。
地域に関する活動は、環境や自然に関わる活動や子供に関する活動と関係していて、
さらに、子供に関する活動と安全な生活に関わる活動が関係している。
直感的に、地域住民の意識として、住環境と子供の安全が重要であるのは納得できる。
逆に、スポーツ・文化・芸術・学術に関係した活動は、健康に関わりそうな話であって、
子供に関する活動や安全な生活に関わる活動とは関係しない、というのも頷ける。
なるほど。直感的に納得できそうな結果である。
さて、散布図行列は相関係数行列を可視化したようなものであり、
データの全体を俯瞰する上で、非常に強力なツールではあるが、注意すべき点がある。
相関係数行列の場合は、変数が多いと値を見落とす危険性があり、
散布図行列の場合は、目の錯覚で、間違った解釈をする場合がある。
この二つの結果を相互に見比べることが重要!!
今度は、散布図行列をもう少し見やすく整えてみる。
散布図行列には、様々な描き方が存在しているが、
ここでは、psych というパッケージを用いた方法を紹介する。
とりあえず、パッケージのインストールし、ライブラリを読み込む。
既に、インストール済みの場合は、ライブラリの読み込みのみ。
install.packages("psych", dep=TRUE)
library(psych)
psychの散布図行列のメソッドは、pairs.panels()関数を用いる。
pairs.panels(X)
psych の散布図行列を用いると、対角線にはヒストグラムが配置され、
下側には散布図、上側には相関係数が配置される。
それにしても、色々と煩雑なものが入っていて見難い。
それぞれに意味はあるのだが、必要なもの「のみ」を表示することも重要。
pairs.panels(X, smooth=FALSE, density=FALSE, ellipses=FALSE, scale=TRUE)
パラメータに関しては以下の通り。
分散に相当するヒストグラムが対角線上に配され、上側には相関係数行列もある。
最初の方法では、相関係数行列と散布図行列を見比べる必要があったが、
この方法を用いることで、必要な情報を一目で確認することができる。
今回は、対角線上にヒストグラムを配したが、対角成分に箱ヒゲ図を配する方法もある。
本ブログでは、使用を避けているが、Rコマンダーと呼ばれる、
Rのグラフィカルインタフェースを導入すると、散布図行列の対角は箱ヒゲ図になる。
また、Rの初期状態で利用可能なpairs()関数を拡張することもでき、
その方法は、pairs()関数のヘルプの例に記載されている。
余力のある人は、試してみると良い。それほど、難しくはない。
ところで、相関係数行列を可視化する方法は、散布図行列だけではない。
参考までに、相関プロットも紹介する。
cor.plot(cor(X))
cor.plot()関数を用いると、相関係数行列を色分けで表示することができる。
この図において、白色のセルは相関係数が低く、青色のセルは値が高い。
逆に、赤色のセルは赤色で表示されている。
変数の数が多くなると、どうしても、相関係数行列や散布図行列が見難くなる。
そのような場合には、この方法で可視化して全体を把握することもできる。
分析対象の性質を理解した上で、適切な分析手法を選択する必要がある。
残念ながら有名な分析手法の名前に踊らされる人は多く、
「○○の研究での実績があるから...」とか、「○○先生が使っていたし...」とか、
不可解かつ非論理的な理由で分析する人まで居る。理解できない。
信じ難いのであるが、そんな話が常識となっている分野も存在する。
まぁ、このブログを読んでいる人には、そのような人は居まい。
さて、そのような愚痴はさておき、
本日は多次元データの要約を可視化する方法について考える。
ケトレーの話にも通じるが、データを観察する上で最も基本となるのは、
データの中心からのバラツキであって、
分散、標準偏差、共分散、相関係数といった指標があった。
また、これらの指標に加えて、四分位やヒンジというのもあった。
さらに、それを可視化する方法として、
ヒストグラム、散布図、箱ヒゲ図、などがあった。
ところで、分散と共分散あるいは相関係数を同時に表現する方法として、
分散共分散行列と相関係数行列があった。
そこで、今回は分散共分散行列と相関係数行列を可視化する方法について述べる。
分散共分散行列と相関係数行列はどのような構造であったか？
確か、分散共分散行列の場合は、対角成分に分散が入っていて、
その他の成分には共分散が入っているような対象行列であった。
一方、相関係数行列は、対角成分が「1」であり、
その他の成分には、相関係数が入っているような対象行列であった。
つまり、結論から述べると散布図行列というのは、
対角成分にバラツキを表すグラフが入り、
それ以外の成分には、散布図が入るような視覚化方法である。
散布図行列には、様々なバリエーションが存在し得るので、
今回は、基本的な見方と基本的な形式のみを紹介する。
では、さっそく、データを読み込んでみる。
今回は、いつもとは異なった方法でデータの読み込みを行なってみる。
今回のデータは少し大きいので、Google Spreadsheet にデータを置いてある。
このデータを利用するためには、RCurlというパッケージを必要とする。
インストールした記憶の無い人は、まずは、このパッケージをインストールする。
インストールの説明は、新しい箱ヒゲ図の話でしているので、そちらを参照。
install.packages("RCurl", dep=TRUE)
library(RCurl)
# Google Spreadsheet からデータをダウンロードする
data <- getURL("https://docs.google.com/spreadsheet/pub?key=0AtOtIs5BjRVhdHo0c0pjb29OTU9aV3BmQUFJUWJQa0E&single=true&gid=0&range=A1%3AK48&output=csv")
# ダウンロードしたデータを読み込む
X <- read.table(textConnection(data), header=TRUE, row.names=1, sep=",")
エラーが出なければ問題は無いはず。念のために、データの確認を行う。
head(X)
head()関数は、データの先頭6行を読み込んで表示するための関数。
データの中身を確認するために用いる。実行結果は以下の通り。
> head(X)
HM ELD HC CHR SC LI SP ENV DIS IC
Hokkaido 11.3 35.1 34.1 21.2 44.3 14.4 15.5 24.1 5.4 17.9
Aomori-ken 15.2 21.0 22.4 13.3 55.2 7.9 8.4 19.9 8.3 8.0
Iwate-ken 6.0 26.1 12.5 15.9 33.1 10.6 15.6 16.9 11.8 26.9
Miyagi-ken 22.8 40.6 32.8 20.7 43.4 13.4 14.3 22.6 15.2 40.4
Akita-ken 4.9 19.5 25.1 16.1 41.2 7.4 9.8 12.8 10.4 33.2
Yamagata-ken 7.4 26.5 13.4 15.8 33.3 9.5 11.4 13.0 5.9 8.7
このデータは、総務省統計局からダウンロードしたデータを加工したもので、
都道府県別のボランティア活動に従事した人の年平均従事時間（日/年）のデータ。
書く変数の意味は次の通り。
- HM：健康や医療サービスに関係した活動
- ELD：高齢者を対象とした活動
- HC：障害者を対象とした活動
- CHR：子供を対象とした活動
- SC：スポーツ・文化・芸術・学術に関係した活動
- LI：まちづくりのための活動
- SP：安全な生活のための活動
- ENV：自然や環境を守るための活動
- DIS：災害に関係した活動
- IC：国際強力に関係した活動
当然、全ての人に聞くことはできないので、サンプル調査の結果であり、
男女を合わせた総数での結果となっている。
さて、まずは、分散共分散行列と相関係数行列を確認。
小数点が大きすぎるので、小数点第三位までで丸め込む。
# 分散共分散行列
round(cov(X), 3)
# 相関係数行列
round(cor(X), 3)
実行結果は以下の通り。
> # 分散共分散行列
> round(cov(X), 3)
HM ELD HC CHR SC LI SP ENV DIS IC
HM 27.370 0.750 5.470 -2.063 7.600 2.305 -5.029 5.586 -1.925 -12.463
ELD 0.750 38.669 22.176 10.859 -2.048 9.253 4.594 16.180 -0.199 44.576
HC 5.470 22.176 103.638 11.745 6.029 9.985 3.673 12.545 -0.205 64.775
CHR -2.063 10.859 11.745 13.820 -0.021 7.465 8.619 12.185 0.559 11.328
SC 7.600 -2.048 6.029 -0.021 52.300 -2.108 0.040 1.468 1.434 7.519
LI 2.305 9.253 9.985 7.465 -2.108 12.677 5.382 20.473 0.950 0.394
SP -5.029 4.594 3.673 8.619 0.040 5.382 21.932 12.175 1.550 13.332
ENV 5.586 16.180 12.545 12.185 1.468 20.473 12.175 58.090 0.927 -2.488
DIS -1.925 -0.199 -0.205 0.559 1.434 0.950 1.550 0.927 7.540 12.452
IC -12.463 44.576 64.775 11.328 7.519 0.394 13.332 -2.488 12.452 279.265
>
> # 相関係数行列
> round(cor(X), 3)
HM ELD HC CHR SC LI SP ENV DIS IC
HM 1.000 0.023 0.103 -0.106 0.201 0.124 -0.205 0.140 -0.134 -0.143
ELD 0.023 1.000 0.350 0.470 -0.046 0.418 0.158 0.341 -0.012 0.429
HC 0.103 0.350 1.000 0.310 0.082 0.275 0.077 0.162 -0.007 0.381
CHR -0.106 0.470 0.310 1.000 -0.001 0.564 0.495 0.430 0.055 0.182
SC 0.201 -0.046 0.082 -0.001 1.000 -0.082 0.001 0.027 0.072 0.062
LI 0.124 0.418 0.275 0.564 -0.082 1.000 0.323 0.754 0.097 0.007
SP -0.205 0.158 0.077 0.495 0.001 0.323 1.000 0.341 0.121 0.170
ENV 0.140 0.341 0.162 0.430 0.027 0.754 0.341 1.000 0.044 -0.020
DIS -0.134 -0.012 -0.007 0.055 0.072 0.097 0.121 0.044 1.000 0.271
IC -0.143 0.429 0.381 0.182 0.062 0.007 0.170 -0.020 0.271 1.000
さて、この値のどの部分を注意して観察するべきであったか？
確か、相関係数行列の「1」に近いものと「-1」に近いものに注意するべきであった。
この中では、「0.754」が最も高い。マイナス方向では、最も低いのが「-0.205」である。
では、正負の相関の有無の断定となると色々と手続きが必要であるが、
「自然や環境を守るための活動（ENV）」と「まちづくりのための活動（LI）」は、
関係しているように思える。逆に、強い負の関係というのは無さそう。
確か、相関係数行列の「1」に近いものと「-1」に近いものに注意するべきであった。
この中では、「0.754」が最も高い。マイナス方向では、最も低いのが「-0.205」である。
では、正負の相関の有無の断定となると色々と手続きが必要であるが、
「自然や環境を守るための活動（ENV）」と「まちづくりのための活動（LI）」は、
関係しているように思える。逆に、強い負の関係というのは無さそう。
ふむ。この状況、一つ一つを丁寧に見れば、解らなくは無いのだが、どうも見難い。
そこで、この状況を散布図行列を使って可視化してみる。
pairs()関数は、散布図行列を作成するための関数であり、
分散共分散行列あるいは相関係数行列の状況を可視化したようなもの。
したがって、相関係数行列の各成分に相当する散布図が、
散布図行列の各要素に相当する散布図になっている。
また、散布図行列の対角を挟んで上側と下側の散布図は、
x軸とy軸が入れ替わっているだけで、結局は同じ状況を示している。
ここでは、とりあえず、下側にだけ注目してみることにする。
まずは、先程の比較的関係が強そうなENVとLIの関係に着目してみる。
ENVと他の変数との相関係数がどこに入っていたかと言うと、
相関係数行列では8行目に入っていた。LIとの関係は、6列目。
したがって、散布図行列においても8行目を見てみる。
すると、y軸の目盛りが右側に書いてある。これが、ENVの値。
LIとの関係は、相関係数行列における6列目であったので、
そのまま、右方向に進み、6番目の散布図を見てみる。これが、ENVとLIの散布図。
LIの値はというと、6列目に並んでいる散布図の一番上の散布図のx軸に書いてある。
y軸の目盛りは左右交互に、x軸の目盛りは上下交互に書いてあるが、
この見方は、相関係数行列と対比しながら見れば解るであろう。
さて、この8行目の6列目の散布図を見てみると、
他の散布図と比較すると、対角線上に綺麗に点が並んでいるように見える。
LIの値が右側に増えるに従って、ENVの値は上に向かって増加しているので、
この二つの変数は連動している。
散布図行列だけを見てみると、LI:CHRとSP:CHRも、なんとなく右肩上がり。
この散布図の場所は、それぞれ、6行目4列目と7行目4列目なので、
そこに該当する相関係数を見てみると、それぞれ、「0.564」と「0.495」となっていて、
今回のデータで見てみると、相対的に相関係数は高い値となっている。
では、逆に対角線に集まって「なさそうな」ものはどれか？
対角を挟んで下側だけで考えてみる。
SC:CHR（5行目4列目）と、SP:SC（7行目5列目）が、対角線上には並んでいなさそう。
相関係数は、それぞれ、「-0.001」と「0.001」であり、やはり、関連は無さそうである。
この二つは、特に関係してい「なさそうな」組み合わせであるが、
散布図が全体的に散らばっているならば、
散布図に対応する相関係数は「±1」よりも「0」に近いハズ。
地域に関する活動は、環境や自然に関わる活動や子供に関する活動と関係していて、
さらに、子供に関する活動と安全な生活に関わる活動が関係している。
直感的に、地域住民の意識として、住環境と子供の安全が重要であるのは納得できる。
逆に、スポーツ・文化・芸術・学術に関係した活動は、健康に関わりそうな話であって、
子供に関する活動や安全な生活に関わる活動とは関係しない、というのも頷ける。
なるほど。直感的に納得できそうな結果である。
さて、散布図行列は相関係数行列を可視化したようなものであり、
データの全体を俯瞰する上で、非常に強力なツールではあるが、注意すべき点がある。
相関係数行列の場合は、変数が多いと値を見落とす危険性があり、
散布図行列の場合は、目の錯覚で、間違った解釈をする場合がある。
この二つの結果を相互に見比べることが重要!!
今度は、散布図行列をもう少し見やすく整えてみる。
散布図行列には、様々な描き方が存在しているが、
ここでは、psych というパッケージを用いた方法を紹介する。
とりあえず、パッケージのインストールし、ライブラリを読み込む。
既に、インストール済みの場合は、ライブラリの読み込みのみ。
install.packages("psych", dep=TRUE)
library(psych)
psychの散布図行列のメソッドは、pairs.panels()関数を用いる。
psych の散布図行列を用いると、対角線にはヒストグラムが配置され、
下側には散布図、上側には相関係数が配置される。
それにしても、色々と煩雑なものが入っていて見難い。
それぞれに意味はあるのだが、必要なもの「のみ」を表示することも重要。
パラメータに関しては以下の通り。
- smooth: 平滑線の描画の有無（今回は表示しない）
- density: ヒストグラムにカーネルを重ねるかの有無（今回は重ねない）
- ellipses: 散布図に相関を円で表したものを表示するか否か（今回は表示しない）
- scale: 上側の相関係数の表示の大きさを相関の強さで変えるか（今回は変える）
分散に相当するヒストグラムが対角線上に配され、上側には相関係数行列もある。
最初の方法では、相関係数行列と散布図行列を見比べる必要があったが、
この方法を用いることで、必要な情報を一目で確認することができる。
今回は、対角線上にヒストグラムを配したが、対角成分に箱ヒゲ図を配する方法もある。
本ブログでは、使用を避けているが、Rコマンダーと呼ばれる、
Rのグラフィカルインタフェースを導入すると、散布図行列の対角は箱ヒゲ図になる。
また、Rの初期状態で利用可能なpairs()関数を拡張することもでき、
その方法は、pairs()関数のヘルプの例に記載されている。
余力のある人は、試してみると良い。それほど、難しくはない。
ところで、相関係数行列を可視化する方法は、散布図行列だけではない。
参考までに、相関プロットも紹介する。
cor.plot(cor(X))
cor.plot()関数を用いると、相関係数行列を色分けで表示することができる。
この図において、白色のセルは相関係数が低く、青色のセルは値が高い。
逆に、赤色のセルは赤色で表示されている。
変数の数が多くなると、どうしても、相関係数行列や散布図行列が見難くなる。
そのような場合には、この方法で可視化して全体を把握することもできる。
